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Profe, ¿para qué sirven los logaritmos?
La pregunta de siempre y bastante presente en los alumnos. Bueno, vamos a hacer algo con los logaritmos y un poco más de matemática: un instrumento musical, en particular un sicu como el de la figura.
La concepción de las notas musicales que conocemos hoy en día se basa en la llamada gama bien temperada que existe y tiene vigencia en nuestra música desde la obra de Johann Sebastian Bach (1685-1750). En qué consiste esto trataré de explicarlo brevemente.
Los sonidos de escala musical de dicha gama (o notas musicales) son 12, a cada uno de los cuales le corresponde una frecuencia o vibración de las ondas sonoras. Para obtener las frecuencias de dichas notas se parte de una determinada nota o sonido de dicha escala y, pasando por 11 notas intermedias se llega a la misma nota pero a una frecuencia de vibración del doble de la original. A esto se denomina partir de una nota y llegar a su octava. Entre octava y octava hay 11 sonidos. La frecuencia de cada uno de ellos se obtiene multiplicando la frecuencia del inmediato anterior por una constante k. Supongamos que partimos de la nota La que posee una frecuencia de vibración de 440 Hz (vibraciones por segundo) tenemos:
Nota La de frecuencia 440 Hz multiplicada por k se llega a la nota La sostenido de frecuencia 440.k Hz
La sostenido 440.k Hz
Si 440.k.k Hz
Si queremos llegar a la octava de la nota La de 440 hz, debemos hacer:
Nota La de frecuencia 440 Hz multiplicada por k^12 (k a la 12) se llega a la nota La (octava) de frecuencia 880 hz
Pero aún no sabemos el valor de k. Y aquí es dónde entran en escena los logaritmos:
880 = 440.k^12
2 = k^12
que traducido a logaritmos (y aquí aplicamos logaritmos, por fin):
log 2 = 1/12. log k
k = antilog (log 2)/12
k = 1,059
Una vez obtenido k podemos calcular la frecuencia de cualquier nota de la escala sabiendo la frecuencia de una de ellas. Partiendo de la nota La de 440 Hz podemos averiguar las frecuencias de todas las notas de la escala hasta la octava La superior de frecuencia 880 Hz:
La = 440 hz
La sostenido = 440 hz. k = 466,16 hz
Si = 466,16 hz. k = 493,88 hz
Do= 493,88 hz. k = 523,25 hz
Do sostenido = 523,25 hz. k = 554,37 hz
Re = 554,37 hz. k = 587,33 hz
Re sostenido = 587,33 hz. k = 622,25 hz
Mi = 622,25 hz. k = 659,26 hz
Fa = 659,26 hz. k = 698,46 hz
Fa sostenido = 698,46 hz. k = 739,99 hz
Sol = 739,99 hz. k = 783,99 hz
Sol sostenido = 783,99 hz. k = 830,61 hz
Una vez calculada la frecuencias de las notas debemos calcular la longitud de los de los tubos del sicu. Esto también puede aprovecharse para mostrar una forma de relación inversamente proporcional entre la frecuancia de la nota y la longitud del tubo, según la fórmula:
Longitud tubo (en metros) = 345 /(4 . frecuencia de la nota musical)
relación que viene de la física acústica (no la desarrollaremos aquí) y donde 345 es la velocidad media del sonido medida en metros por segundo.
Los diámetros de los tubos dependerán de la longitud de los mismos variando desde 1 cm para los tubos más agudos hasta 1.5-1.6 cm para los medianos y hasta 2 cm en sicus muy bajos dependiendo de las notas musicales que les querramos hacer sonar. No se puede dar una relación longitud/diámetro determinada, lo normal es que esté entre 1/15 y 1/20 para tubos de longitudes entre 15 cm y 1 metro, aunque, como ya digo, esto es muy variable y con un poco de sentido común el tema no tiene mayor importancia.
El material de original con que se hacen los tubos es la caña pero podemos usar unos cuantos metros de tubo de PVC de los usados en plomería o en canalizaciones eléctricas que resultan
bastante baratos y fáciles de trabajar. Buscando mucho los podemos encontrar de 11 mm de diámetro, y fácilmente de16 mm y 21 mm, aunque este último lo usaremos sólo en tubos muy muy largos.
Bueno, espero se diciviertan con sus alumnos.
MUESTRAS DE UNA POBLACIÓN
Recordemos:
Población: total de individuos o cosas que conforman en objeto de estudio estadístico.
Muestra: subconjunto de la población.
Unidades muestrales o unidades: cada uno de los individuos que componen la población
Variable: concepto a medir en cada unidad
En los casos que así se lo requiera y que no pueda realizarse una medida por cada individuo de la población se debera trabajar con un subconjunto de la misma al que llamamos MUESTRA.
Para que la MUESTRA sea buena debe ser representativa de la POBLACION: todas las características importantes de la POBLACION deben estar en la muestra EN LA MISMA PROPORCION QUE EN LA POBLACION. Si por ejemplo estamos averiguando la intención de voto de una POBLACION respecto de un candidato, si en POBLACION el 30% va a votar a dicho candidato entonces en una MUESTRA BUENA el valor de la intención de voto de dicho candidato debe estar cercana a dicho porcentaje (32%, 29%, etc)
En este sentido, es bueno que la MUESTRA se seleccione en forma aleatoria: cada uno de los individuos de la POBLACION tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Esto se logra:
Cuando suceden situaciones como estas u otras se produce un SESGO en la muestra, lo que signnifica que SE HA PRODUCIDO UN FAVORITISMO EN ALGUNA DE LAS ESTAPAS DE LA RECOLECCION DE DATOS , BENEFICIANDO ALGUNOS RESULTADOS, PERJUDICANDO OTROS Y DESVIANDO LAS CONCLUSIONES EN DIRECCIONES EQUIVOCADAS.
Sintetizando, entran en juego 2 factores a la hora de realizar una muestra:
DEBE QUEDAR EN CLARO QUE A PESAR QUE REALICEMOS UNA ELECCION CORRECTA DE LA MUESTRA SIEMPRE LAS ESTIMACIONES QUE REALICEMOS A PARTIR DE LA MISMA PRESENTARÁN UN ERROR RESPECTO DE LOS PARAMETROS REALES DE LA POBLACION. LA CUESTION ES HACER ESTE ERROR LO MÁS PEQUEÑO POSIBLE DENTRO DE LAS POSIBILIDADES QUE SE NOS PRESENTAN.
Parámetros y estadísticos.
Consideremos la población de todos los socios de un club, atendiendo a la edad de cada uno de ellos. El promedio de todas las edades de los socios que conforman dicha población es un ejemplo de un parámetro de la población. También lo puede ser la proporción de socios adultos respecto del total de socios, o el indice de morosidad en el pago de la cuota social. Como vemos, en los 3 casos se trata de valores que corresponden o que son calculados a partir del total de la población. Pero si seleccionamos una muestra de socios y calculamos sobre la misma esos mismos conceptos (promedio de edades muestral, proporción de adultos respecto del total muestral o el índice de morosidad muestral) ya no estamos en presencia de parámetros poblacionales sino de valores calculados a partir de las muestras a los que llamamos estadísticos, los cuales funcionaran como una estimación de los parámetros poblacionales dado que en general a estos últimos no nos es posible calcularlos por no tener acceso al total de la poblacion.
La diferencia entre el parámetro y el estadístico que intenta estimarlo se lo llama error de estimación.
Aclaramos que en cada muestra siempre realizaremos un error de estimación por más que la misma cumpla con los requisitos arriba señalados, no pudiendo nunca saber con exactitud el valor del parámetro poblacional.
2) Realiza un texto con el procesador de texto con las palabras, POBLACION, MUESTRA, UNIDADES MUESTRALES, AZAR, SESGO, PARÁMETRO POBLACIONAL, ESTADÍSTICO y ERROR DE ESTIMACION, hipervinculando cada uno de los conceptos con una definición del mismo en el mismo archivo de procesador de texto.
3) Construir un mapa conceptual con el conjunto de conceptos recién mencionados
Población: total de individuos o cosas que conforman en objeto de estudio estadístico.
Muestra: subconjunto de la población.
Unidades muestrales o unidades: cada uno de los individuos que componen la población
Variable: concepto a medir en cada unidad
En los casos que así se lo requiera y que no pueda realizarse una medida por cada individuo de la población se debera trabajar con un subconjunto de la misma al que llamamos MUESTRA.
Para que la MUESTRA sea buena debe ser representativa de la POBLACION: todas las características importantes de la POBLACION deben estar en la muestra EN LA MISMA PROPORCION QUE EN LA POBLACION. Si por ejemplo estamos averiguando la intención de voto de una POBLACION respecto de un candidato, si en POBLACION el 30% va a votar a dicho candidato entonces en una MUESTRA BUENA el valor de la intención de voto de dicho candidato debe estar cercana a dicho porcentaje (32%, 29%, etc)
En este sentido, es bueno que la MUESTRA se seleccione en forma aleatoria: cada uno de los individuos de la POBLACION tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Esto se logra:
- utilizando algún mecanismo probabilístico para elegirlos
- la gente no se selecciona a sí misma para participar
- nadie en la poblacion es favorecido por el proceso de selección
- muestra por conveniencia (elegir los alumnos que resulten más al alcance; extraer las naranjas que más arriba del cajón estén; encuestar las primeras personas que pasen)
- muestras por sesgo personal (prefir encuestar a cierto tipo de personas y no otras, por simpatía, gusto o interés)
- muestras por respuesta voluntaria (los individuos se ofrecen voluntariamente a participar)
- cuando se pide a los oyentes de un programa de radio que voten a tal o cual cantante, llamando por teléfono o enviando un mensaje de correo electrónico, produciendo muestras de respuesta voluntaria
Cuando suceden situaciones como estas u otras se produce un SESGO en la muestra, lo que signnifica que SE HA PRODUCIDO UN FAVORITISMO EN ALGUNA DE LAS ESTAPAS DE LA RECOLECCION DE DATOS , BENEFICIANDO ALGUNOS RESULTADOS, PERJUDICANDO OTROS Y DESVIANDO LAS CONCLUSIONES EN DIRECCIONES EQUIVOCADAS.
Sintetizando, entran en juego 2 factores a la hora de realizar una muestra:
- a quiénes seleccionar
- a cuántos seleccionar
DEBE QUEDAR EN CLARO QUE A PESAR QUE REALICEMOS UNA ELECCION CORRECTA DE LA MUESTRA SIEMPRE LAS ESTIMACIONES QUE REALICEMOS A PARTIR DE LA MISMA PRESENTARÁN UN ERROR RESPECTO DE LOS PARAMETROS REALES DE LA POBLACION. LA CUESTION ES HACER ESTE ERROR LO MÁS PEQUEÑO POSIBLE DENTRO DE LAS POSIBILIDADES QUE SE NOS PRESENTAN.
Parámetros y estadísticos.
Consideremos la población de todos los socios de un club, atendiendo a la edad de cada uno de ellos. El promedio de todas las edades de los socios que conforman dicha población es un ejemplo de un parámetro de la población. También lo puede ser la proporción de socios adultos respecto del total de socios, o el indice de morosidad en el pago de la cuota social. Como vemos, en los 3 casos se trata de valores que corresponden o que son calculados a partir del total de la población. Pero si seleccionamos una muestra de socios y calculamos sobre la misma esos mismos conceptos (promedio de edades muestral, proporción de adultos respecto del total muestral o el índice de morosidad muestral) ya no estamos en presencia de parámetros poblacionales sino de valores calculados a partir de las muestras a los que llamamos estadísticos, los cuales funcionaran como una estimación de los parámetros poblacionales dado que en general a estos últimos no nos es posible calcularlos por no tener acceso al total de la poblacion.
La diferencia entre el parámetro y el estadístico que intenta estimarlo se lo llama error de estimación.
Aclaramos que en cada muestra siempre realizaremos un error de estimación por más que la misma cumpla con los requisitos arriba señalados, no pudiendo nunca saber con exactitud el valor del parámetro poblacional.
Para practicar:
1) En cada uno de los siguientes ejercicios:
- Indicar cuál es la unidad muestral, la variable, el estadístico, la población y, cuando corresponda, identificar el tamaño de la muestra.
- Si el valor en negrita es un parámetro o el valor de un estadístico.
- Un lote de arandelas tiene un diámetro promedio de
- En un estudio reciente se entrevistaron 213 familias y la mayoría de las madres estaba al tanto de que los resfríos eran producidos por virus. Pero solamente el 40% sabía que un antibiótico no puede curar un resfrío, y una de cada 5 creía, en forma equivocada, que un antibiótico lo podía prevenir.
- En el año 2001 el 50% de los hogares de
- En el año 2009 el precio promedio de 8 autos modelo 2002 era de $21.880.
3) Construir un mapa conceptual con el conjunto de conceptos recién mencionados
Ejercicios - ejemplos sobre los conceptos de POBLACION, UNIDADES MUESTRALES, NUESTRA Y VARIABLE
En cada uno de los siguientes indica cuál es la población, la muestra, las unidades muestrales y la/las variables a medir.
- Una encuesta de opinión en la provincia de Buenos Aires le ha preguntado a 1748 adultos si ha comprado un billete de lotería en los últimos 12 meses
- Durante la reunión anual del Colegio de Abogados de Capital Federal todos los presentes (2578) se les preguntaron monto de ingresos mensuales y cantidad de causas que en ese momento estaban llevando.
- Durante la fabricación de tubos fluorescentes en
- En 1968 se realizo en Holanda un test de inteligencia a todos los varones de 18 años que estaban realizando el servicio militar obligatorio
- Al tirar un dado 300 veces se desea saber si hay alguna relación entre la cantidad de veces que se tiró el dado y la cantidad de veces que salió un número par.
- En el último censo realizado en Paraguay se preguntó en cada hogar visitado la cantidad de niños en edad escolar.
- Para estimar la población de truchas en el lago Futalaufquen se pescaron 400 peces y se los marcaron en su aleta dorsal.
Figuras de Lisajouss
Para aquellos que deseen trabajar con funciones trigonométricas de una forma distinta y más "artística" les propongo la generación de figuras de Lisajouss.
Este tipo de figuras se realizan en un par de ejes cartesianos, generando una función en forma paramétrica (con un parámetro "t") de la siguiente forma:
y = a.sen(b.t)
x = c.sen(d.t)
donde los valores de "a", "b", "c" y "d" son números reales que se fijan a gusto, para luego hacer variar la variable "t" entre un conjunto de ángulos desde cero a varios giros (también a gusto).
Este tipo de figuras son muy usadadas en electrónica para comparar las frecuencias de señales senoidales pero reconfiguradas de esta manera pueden dar origen a gráficos bastante interesantes estéticamente, como por ejemplo las de las figuras de arriba (más sencillas o más complejas según los valores de "a", "b", "c" y "d" y la cantidad de giros de t). Para experimentar con Excel y los alumnos.
En Youtube podemos ver algunas demostraciones de aplicaciones en:
http://www.youtube.com/watch?v=DXpntnHxNZQ
Ley de Benford
La Ley de Benford analiza, dentro de una cantidad grande de datos numéricos la distribución o frecuencia de apararición de cada una de las cifras del sistema decimal como primera cifra de un número. La Ley de Benford se aplica para conjuntos grandes de números que no sean aleatorios. Es decir que se usa esta ley cuando uno trabaja con conjuntos de muchos números, que obedezcan a la recolección de datos que provengan de la naturaleza (incluidos los factores sociales). Por ejemplo, si uno hiciera la lista de los montos de todas las facturas de luz que se pagan en la Argentina, entonces sí, ahí vale la ley. Si uno hiciera un relevamiento de la cantidad de kilos de carne que entraron por día en el mercado de Liniers en los últimos diez años, también. Lo mismo que si uno tuviera los datos de las longitudes de todos los ríos de
un determinado país.
Todo lo que hay que hacer es recolectar como mínimo 400 números tomados de distintas situaciones de la actividad humana: precios, cantidad de habitantes de ciudades, listas con salarios, números de direcciones, etc, con los cuidados señalados arriba. Si todo va bien, la frecuencias de distribución de las primeras cifras de los números siguen el siguiente patrón aproximadamente:
Dígito..............................porcentaje de que sea el primer dígito
1 .................................................30,1%
2 .................................................17,6%
3 .................................................12,5%
4 ...................................................9,7%
5 ...................................................7,9%
6 ...................................................6,7%
7 ...................................................5,8%
8 ...................................................5,1%
9 ...................................................4,6%
¿No es increíble que haya más de un 30% de posibilidades de que la primera cifra sea un 1?
Una de las aplicaciones de esta ley es en la detección de fraudes en libros contables y balances ya que si los números en los mismos están "modificados", dicha modificación puede no responder a la distribución plantada por esta ley.
un determinado país.
Todo lo que hay que hacer es recolectar como mínimo 400 números tomados de distintas situaciones de la actividad humana: precios, cantidad de habitantes de ciudades, listas con salarios, números de direcciones, etc, con los cuidados señalados arriba. Si todo va bien, la frecuencias de distribución de las primeras cifras de los números siguen el siguiente patrón aproximadamente:
Dígito..............................porcentaje de que sea el primer dígito
1 .................................................30,1%
2 .................................................17,6%
3 .................................................12,5%
4 ...................................................9,7%
5 ...................................................7,9%
6 ...................................................6,7%
7 ...................................................5,8%
8 ...................................................5,1%
9 ...................................................4,6%
¿No es increíble que haya más de un 30% de posibilidades de que la primera cifra sea un 1?
Una de las aplicaciones de esta ley es en la detección de fraudes en libros contables y balances ya que si los números en los mismos están "modificados", dicha modificación puede no responder a la distribución plantada por esta ley.
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